What is complex number, real number, irrational number, rational number, integer, whole number, natural number and number line?
Hello friends, कैसे हैं आप लोग? I hope की आप लोग ठीक होगे।
Friends, मेरा नाम है Dheeraj Sahni और आप लोग इस वक़्त है हमारी website www.mathshindi.com पर। आपका बहुत-बहुत स्वागत है हमारी इस वेबसाइट पर। इस वेबसाइट पर आपको Maths से related (संबंधित) complex/hard (कठिन) topics (विषय) को easy way में समझाया जाता है और सिर्फ ये ही नहीं वो complex topics आपको अच्छे से समझ में आ जाए इसके लिए आपको उन topics से related examples/questions भी दिए जाते हैं।
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Coming to the point, So friends मैं आज आपको बताने वाला हूँ बहुत ही basic और important knowledge (जानकारी) numbers के sets के बारे में। बिना इस knowledge के आपको बहुत सारे Maths के concepts को समझने में problem हो सकती है। Maths पढ़ते वक़्त आपको इन different types के numbers के sets की knowledge होनी ही चाहिए।
So friends...
Let's Begin...
1. Natural number (प्राकृत संख्या) : ये numbers 1 से start होते हैं और फिर एक-एक करके infinity (अनन्त) तक बढ़ते जाते हैं, कभी ख़तम नहीं होते हैं।
इस set का सबसे छोटा element (या number) 1 होता है। इस set का सबसे बड़ा element (या number) कोई नहीं होता है। Numbers के इस set को N से show करते हैं।
N = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
Example : 267, 9, 10000, 45 etc.
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2. Whole number (पूर्ण संख्या) : अगर हम natural numbers के set में 0 को भी मिला लें तो जो भी set बनेगा उसे whole numbers का set कहा जाएगा।
इस set का सबसे छोटा element (या number) 0 होता है। इस set का सबसे बड़ा element (या number) कोई नहीं होता है। Numbers के इस set को W से show करते हैं।
W = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
Example : 88, 376, 556554, 0, 1 etc.
3. Integer (पूर्णांक) : अभी तक आपने एक चीज़ notice की होगी की ऊपर बताये गए दोनों numbers के set में सारे numbers, complete numbers हैं (अगर आपने ये notice नहीं किया तो ऊपर बताये गए दोनों sets को फिर से देखिये). यहाँ पर complete numbers से मेरा मतलब ये है की numbers पूरे होने चाहिए।
Example के लिए ये number देखिये : 7.23, ये number न ही पूरा 7 है और न ही पूरा 8. ये number 7 से तो बड़ा है लेकिन 8 से छोटा है मतलब ये number 7 और 8 के बीच में है। ऐसे numbers को incomplete numbers कहते हैं।
Numbers के इस set में भी सारे numbers complete होते हैं। अगर सारे negative complete numbers, zero (जो न तो negative होता है और न ही positive, ये neutral होता है) और सारे positive complete numbers का set बना लिया जाए तो उसे integers का set कहा जाएगा। इस set का न तो कोई सबसे छोटा element (या number) होता है और न ही कोई सबसे बड़ा element (या number) होता है। Numbers के इस set को Z से show करते हैं।
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अब आपके मन में एक सवाल आ रहा होगा की natural numbers के set को N से show करते हैं, whole numbers के set को W से show करते हैं। लेकिन integers के set को Z से क्यों show करते हैं?
Actually Z, German language (भाषा) के एक word (शब्द) - ‘Zahlen’ से लिया गया है। इस word का मतलब होता है - 'to count (गिनना)'. और यही से Z को लिया गया है, integers के सेट को show करने के लिए।
Z = {... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
Example : 538, -454, 0, 7, 100008 etc.
4. Rational number (परिमेय संख्या) : ये सारे complete numbers और सारे incomplete numbers का set होता है।
इस set का भी न तो कोई सबसे छोटा element (या number) होता है और न ही कोई सबसे बड़ा element (या number) होता है।
Numbers के इस set को Q से show करते हैं।
Q, English word - ‘Quotient’ से लिया गया है किसका हिंदी में मतलब होता है - 'भागफल'.
Rational numbers के set के किसी भी element (या number) को p/q के form (रूप) में लिखा जा सकता है जहा पर p और q दोनों integer हैं और q, 0 नहीं होना चाहिए (p, 0 हो सकता है). Numbers के इस set में बिना decimal (point) वाले numbers, terminating decimals (मतलब ऐसे point वाले numbers जो point के बाद कुछ आगे तक चलते हैं और stop हो जाते हैं, for example : 78.9654, ये number point के बाद चार place आगे तक चलता है और फिर stop हो जाता है), non-terminating repeating (या recurring) decimals [मतलब ऐसे point वाले numbers जो point के बाद चलते जाते हैं कभी ख़तम नहीं होते हैं और उनमें point के बाद कुछ fixed digit का group बार-बार repeat होता रहता है, example : 16.147147147.......
इस number को देखिये। ये number point के बाद कभी ख़तम (stop) नहीं होता है और इसमें digits 1, 4, 7 का group (मतलब 147) बार-बार repeat हो रहा है।
एक और example - 7.33333.......
इस number को देखिये ये number point के बाद कभी ख़तम (stop) नहीं होता और इसमें digit 3 बार-बार repeat हो रहा है] आते हैं क्योंकि इन्हें p/q के form (रूप) में लिखा जा सकता है।
Q = {x : x = p/q, where p, q ∈ Z and q ≠ 0}
Example : 38 (= 38/1), 45/41, 2.796 (= 2796/1000), 0 (= 0/1, 0/2, 0/3, ...) etc.
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5. Irrational numbers (अपरिमेय संख्या) : ये numbers का ऐसा set होता है जिसमे इस set के किसी भी element (या number) को p/q के form (रूप) में नहीं लिखा जा सकता।
इस set के numbers हमेशा decimal (point) ke form (रूप) में होते हैं। और ये decimal (या point) वाले numbers non-terminating और non-repeating (या non-reccuring) होते हैं [मतलब ये numbers point के बाद न तो कभी ख़तम (stop) होते हैं और ना ही इनमें fixed digit का कोई group बार-बार repeat होता है, for example : 14.101001000100001000001......
इस number को देखिये। इसे देखने से ये साफ़-साफ़ पता चल रहा है कि ये point के बाद कभी ख़तम (stop) नहीं होगा और ना ही इसमें कोई fixed digit का group बार-बार repeat हो रहा है।]
Numbers के इस set का भी ना तो कोई सबसे छोटा element (या number) होता है और न ही कोई सबसे बड़ा element (या नंबर) होता है।
Numbers के इस set को R–Q या R\Q से show करते हैं (यहाँ पर R का मतलब है real numbers का set और Q का मतलब है rational numbers का set).
कभी-कभी irrational numbers के set को P, I, T etc. से भी show करते हैं।
T = {x : x ≠ p/q, where p, q ∈ Z and q ≠ 0}
Example : 49.131331333133331......,
-0.40506070809010110120.....,
1358.565665666566665666665........, π (= 3.14159.......), √2 ( = 1.41421356........),
√3 (= 1.73205081........) etc.
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6. Real number (वास्तविक संख्या) : अगर हम सारे rational numbers और सारे irrational numbers का set बना लें तो जो set बनेगा उसे real numbers का set कहेंगे।
आसान शब्दों में कहा जाए तो अगर हम वो सारे numbers जो p/q के form (रूप) में लिखे जा सकते हैं और वो सारे numbers जो p/q के form (रूप) में नहीं लिखे जा सकते, इन सबको मिलाकर एक इनका एक set बनाया जाए तो इस set को real numbers का set कहेंगे।
Numbers के इस set का भी ना तो कोई सबसे छोटा element (या number) होता है और न ही कोई सबसे बड़ा element (या नंबर) होता है।
Numbers के इस set को R से show करते हैं।
[Note: कोई भी real number या तो rational होता है या irrational लेकिन एक साथ दोनों नहीं हो सकता है।]
R = { x : x < 0 or x > 0}
Example : 6, -1.32, 17.171819110111121315...…..,
√2, -√3, π, 0 etc.
7. Complex number (सम्मिश्र संख्या) : Complex numbers ऐसे numbers होते हैं जो होते ही नहीं है! जी हाँ Friends आप बिलकुल सही पढ़ रहे हैं - "Complex numbers ऐसे numbers होते हैं जो होते ही नहीं है।"
कहने का मतलब ये है की complex numbers का set ऐसे numbers का set होता है जो imaginary होते हैं। ऐसे numbers सच में नहीं होते हैं बस हम उनकी imagination (कल्पना) करते हैं। Numbers के इस set का हर element (या number) x + iy के form (रूप) का होता है, यहाँ पर x और y real numbers हैं और i, -1 का square root है, मतलब, i = √-1. ‘i’ को 'iota (आयोटा)' पढ़ते हैं।
अगर किसी complex number में y = 0 हो तो ऐसे complex number को purely real कहते हैं। और अगर किसी complex number में x = 0 हो तो ऐसे complex number को purely imaginary कहते हैं।
Numbers के इस set का भी ना तो कोई सबसे छोटा element (या number) होता है और न ही कोई सबसे बड़ा element (या नंबर) होता है।
Numbers के इस set को C से show करते हैं।
C = {x + iy : x, y ∈ R and i = √-1}
Example : 2 + 3i (या 2 + i3), -5 - 6i [= (-5) + (-6)i],
7-2i [= 7 + (-2)i], 8i (= 0 + 8i), 68 (= 68 + 0i) etc.
Number Line (Or) Real number line (संख्या रेखा या वास्तविक संख्या रेखा)
अगर हम किसी straight line (सीधी/सरल रेखा) पर सारे real numbers को order (क्रम) से रख दे तो वो line 'Number line' कहलाएगी। इस line पर सभी numbers, real numbers होते हैं इसलिए इस line को 'Real number line' भी कहते हैं। Number line में 0 के left hand की तरफ सभी negative होते हैं और 0 के right hand की तरफ सभी numbers positive होते हैं। 0 बीच में होता है। 0 ना negative side की तरफ और ना ही positive side की तरफ पड़ता है। और इसीलिए 0 ना ही positive number माना जाता है और ना ही negative number माना जाता है। 0 एक neutral number है।
इस number line पर सारे real numbers होते हैं। Real number line के दोनों तरफ arrow (तीर) होते हैं जिसका मतलब ये होता है कि ये दोनों तरफ से कितना भी आगे बढ़ सकते हैं।
I hope की आपको हमारा ये article पसंद आया होगा और मुझे उम्मीद है कि आपको numbers के different sets के बारे में काफी जानकारी मिली होगी। मैंने आपको आसान शब्दों में numbers के different sets के बारे में समझाने की कोशिश की है।
I hope की आपको सब कुछ अच्छे से समझ में आ गया होगा। और अगर आपको कोई चीज समझ में नहीं आती हो तो comment के through (माध्यम से) आप हमें बता सकते हैं। अगर आपको ये article अच्छा लगा तो comment के माध्यम से आप हमें support कर सकते हैं।
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आपने इस article को पढ़कर क्या सीखा?
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Q-1: क्या 0 natural number है?
Q-2: क्या 0 को complex number कहा जा सकता है?
Q-3: √4 क्या है, rational या irrational?
Q-4: π = 22/7 होता है। लेकिन 22/7 एक rational number है। तो π irrational कैसे हुआ?
Q-5: 675 क्या है?
(a) natural number
(b) whole number
(c) rational number
(d) real number
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