Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)
Hello friends, कैसे हैं आप लोग? I hope की आप लोग ठीक होगे।
Friends, मेरा नाम है Dheeraj Sahni और आप लोग इस वक़्त है हमारी website www.mathshindi.com पर। आपका बहुत-बहुत स्वागत है हमारी इस वेबसाइट पर। इस वेबसाइट पर आपको Maths से related (संबंधित) complex/hard (कठिन) topics (विषय) को easy way में समझाया जाता है और सिर्फ ये ही नहीं वो complex topics आपको अच्छे से समझ में आ जाए इसके लिए आपको उन topics से related examples/questions भी दिए जाते हैं।
Coming to the point, so friends में आज आपको बताने वाला हूँ Maths के एक बहुत ही important theorem – 'Basic Proportionality Theorem' में जिसे 'Thales' नाम के एक गणितज्ञ (mathematician) ने दिया और पर ही कभी-कभी इस theorem को 'Thales Theorem (थेल्स प्रमेय)' भी कहते हैं। इस article में, मैं आपको बताऊंगा Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem) के बारे में और इस theorem को prove भी करके दिखाऊँगा साथ ही साथ हम लोग इस theorem के converse theorem के बारे में भी जानेंगे और इस theorem को भी प्रोवे करेंगे। तो चलिए जानते हैं Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem) और इसके converse theorem के बारे में।
So friends...
Let's Begin...
ये जानने से पहले की Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem) क्या है, हम उस person (व्यक्ति) के बारे में के कुछ जान लेते हैं जिसने इस theorem को दिया है।
Biography of Thales (Thales की जीवनी)
Thales एक Greek mathematician (गणितज्ञ) और philosopher (दार्शनिक) थे जो Pre-Socratic age (युग) में लगभग 620 - 625 BC पहले रहते थे। उन्हें आम तौर पर (commonly) 'Thales of Miletus' के रूप में जाना जाता है क्योंकि वे Asian region में ‘Miletus’ से belong करते थे। ये भी माना जाता है की वो उन सात Greek संतो (sages) में से एक थे जिन्होंने philosophy और दूसरे Sciences पर अपना invincible (कभी न मिटने वाला) impact (प्रभाव) छोड़ा। Thales ने ना सिर्फ science बल्कि philosophy की दुनिया में भी एक नयी age (युग) की शरूआत की और यही reason (कारण) है की उन्हें “Father of Science” भी कहा जाता है।
उन्होंने astronomy, mathematics और philosophy में अपना important contribution (योगदान) किया है।उनके बारे में Bertrand Russell ने कहा है “Western philosophy begins with Thales”.
Aristotle ने भी उन्हें सभी Greek philosophers में से सबसे पहला philosopher (दार्शनिक) बताया है। उन्होंने ना सिर्फ बाद में आने वाले philosophers को influence (प्रभावित) किया बल्कि उन्होंने philosophy के development (विकास) में भी एक important role play किया है।
अगर mathematics की बात करें तो वो geometry (ज्यामिति) का इस्तेमाल (use) करके problems के solution का पता लगा लेते थे, for instance, वो height और distance को geometry (ज्यामिति) के through (माध्यम से) calculate (गणना) करते थे। वो वही scientific method प्रयोग (use) करते थे जो deduction और reasoning का method (तरीका) है। इस तरह से वो नयी scientific method को discover (खोजने) करने में एक pioneer थे और यही reason (कारण) है की उन्हें पहला true mathematician कहा जाता है।
दूसरी जो उनकी remarkable achievement है वो है उनकी एक theorem जो की Thales theorem के नाम से popular (लोकप्रिय) है और उनकी ये theorem, deductive reasoning पर based (आधारित) है। उनकी इस theorem को 'Basic Proportionality Theorem' के नाम से भी जाना जाता है।
उन्होंने इस तरह के और भी बहुत सारे contribution (योगदान) दिए है mathematics में।
उनकी death (मृत्यु) की exact date (तारीक) तो किसी को पता नहीं लेकिन ऐसा माना जाता है की उनकी death (मृत्यु) 547 - 546 BC बीच में हुई थी।
तो चलिए अब आते हैं अपने main topic पर ...
Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)
“If a line drawn parallel to one side of a triangle to intersect the other two sides in distinct points, the other two sides are divided in the same ratio”.
“अगर किसी triangle में किसी side के कोई parallel line खींच (draw) दी जाए और वो लाइन triangle के दूसरी दो sides को distinct (अलग-अलग) points पर काट (intersect) करता है तो वो दूसरी दोनों sides same (या equal) ratio में divide (बट) जाएंगी। ”
Proof of Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)
Given : मान लीजिये एक triangle ΔABC है जिसमें एक line, जो side BC के parallel है, दूसरी दो sides AB और AC को क्रमशः (respectively) points D और E पर intersect (काट) कर रहा है। आप इसका diagram नीचे देख सकते हैं।
To Prove :
Construction: BE और CD को join कर दिया (मिला दिया) और फिर DM⊥AC और EN⊥AB पर draw (खींच) दिया।
Proof : Now, area of ΔADE = (1/2) × base × height
ar(ΔADE) = (1/2) × AD × EN
इसी तरह से, area of ΔBDE = (1/2) × base × height
ar(ΔBDE) = (1/2) × DB × EN
Again, area of ΔADE = (1/2) × base × height
ar(ΔADE) = (1/2) × AE × DM
and area of ΔDEC = (1/2) × base × height
ar(ΔDEC) = (1/2) × EC × DM
Therefore,
अब ΔBDE और ΔDEC, ये दोंनो एक ही base DE पर हैं और ये दोनों triangles same parallel lines BC और DE के बीच में हैं।
So, ar(ΔBDE) = ar(ΔDEC) ----(3)
Therefore, from (1), (2) and (3),
यही Basic Proportionality Theorem(Thales Theorem) है। Short (संक्षेप) में Basic Proportionality Theorem को BPT भी कहते हैं।
Also read:
चलिए अब जानते हैं BPT के converse theorem के बारे में।
Converse of Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)
“If a line divides any two sides of a triangle in the same ratio, then the line is parallel to the third side”.
“अगर किसी triangle में कोई line triangle की किसी दो sides को same ratio में divide करे तो वो line triangle की जो third (तीसरी) side बची उसके parallel होगी।”
Proof of Converse of Basic Proportionality Theorem(Thales Theorem)
Given : मान लीजिये एक triangle है ΔABC जिसमें एक line DE triangle की दो sides AB और AC को क्रमशः (respectively) points D और E पर इस तरह intersect कर रही है की,
यहाँ पर हम ये मान लेते हैं कि DE, BC के parallel नहीं है।
To prove : DE, BC के parallel है मतलब DE∥BC.
Construction : एक line DE’ इस तरह से draw किया जिससे की DE’∥BC.
Proof : हमें construction से पता है कि DE’∥BC, so using BPT,
अब क्योंकि,
So,
Adding 1 in both sides,
AC . E’C = AC . EC
E’C = EC
इसका मतलब ये हुआ की E’ और E coincident points हैं या फिर आसान शब्दों में कहें तो E’ और E एक ही points हैं।
तो इसका मतलब, DE’∥BC ⇒ DE∥BC
चलिए अब Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem) से related (सम्बंधित) कुछ solved examples देख लेते हैं जिससे की आपको Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem) या short (संक्षेप) में कहें तो BPT अच्छे से समझ में आ जाए।
Ex.1. If a line intersects sides AB and AC of ΔABC at D and E respectively and is parallel to BC, prove that
Solution: DE∥BC (Given)
Adding 1 in both sides,
Ex.2. ABCD is a trapezium with AB∥DC. E and F are points on non-parallel sides AD and BC respectively such that EF is parallel to AB. Show that
Solution: Let us join AC to intersect EF at G.
Read More:
आपने इस article को पढ़कर क्या सीखा?
Give answers:
Q.1- Using BPT, prove that a line drawn through the mid-point of one side of a triangle parallel to another side bisects the third side.
Q.2- ABCD is a trapezium in which AB is parallel to DC and its diagonals intersect each other at the point O. Show that,
Q.3- The diagonals of a quadrilateral ABCD intersect each other at the point O such that
Show that ABCD is a trapezium.
THANKS FOR READING THIS BLOG.
Biography of Thales (Thales की जीवनी)
Thales एक Greek mathematician (गणितज्ञ) और philosopher (दार्शनिक) थे जो Pre-Socratic age (युग) में लगभग 620 - 625 BC पहले रहते थे। उन्हें आम तौर पर (commonly) 'Thales of Miletus' के रूप में जाना जाता है क्योंकि वे Asian region में ‘Miletus’ से belong करते थे। ये भी माना जाता है की वो उन सात Greek संतो (sages) में से एक थे जिन्होंने philosophy और दूसरे Sciences पर अपना invincible (कभी न मिटने वाला) impact (प्रभाव) छोड़ा। Thales ने ना सिर्फ science बल्कि philosophy की दुनिया में भी एक नयी age (युग) की शरूआत की और यही reason (कारण) है की उन्हें “Father of Science” भी कहा जाता है।
उन्होंने astronomy, mathematics और philosophy में अपना important contribution (योगदान) किया है।उनके बारे में Bertrand Russell ने कहा है “Western philosophy begins with Thales”.
Aristotle ने भी उन्हें सभी Greek philosophers में से सबसे पहला philosopher (दार्शनिक) बताया है। उन्होंने ना सिर्फ बाद में आने वाले philosophers को influence (प्रभावित) किया बल्कि उन्होंने philosophy के development (विकास) में भी एक important role play किया है।
अगर mathematics की बात करें तो वो geometry (ज्यामिति) का इस्तेमाल (use) करके problems के solution का पता लगा लेते थे, for instance, वो height और distance को geometry (ज्यामिति) के through (माध्यम से) calculate (गणना) करते थे। वो वही scientific method प्रयोग (use) करते थे जो deduction और reasoning का method (तरीका) है। इस तरह से वो नयी scientific method को discover (खोजने) करने में एक pioneer थे और यही reason (कारण) है की उन्हें पहला true mathematician कहा जाता है।
दूसरी जो उनकी remarkable achievement है वो है उनकी एक theorem जो की Thales theorem के नाम से popular (लोकप्रिय) है और उनकी ये theorem, deductive reasoning पर based (आधारित) है। उनकी इस theorem को 'Basic Proportionality Theorem' के नाम से भी जाना जाता है।
उन्होंने इस तरह के और भी बहुत सारे contribution (योगदान) दिए है mathematics में।
उनकी death (मृत्यु) की exact date (तारीक) तो किसी को पता नहीं लेकिन ऐसा माना जाता है की उनकी death (मृत्यु) 547 - 546 BC बीच में हुई थी।
तो चलिए अब आते हैं अपने main topic पर ...
Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)
“If a line drawn parallel to one side of a triangle to intersect the other two sides in distinct points, the other two sides are divided in the same ratio”.
“अगर किसी triangle में किसी side के कोई parallel line खींच (draw) दी जाए और वो लाइन triangle के दूसरी दो sides को distinct (अलग-अलग) points पर काट (intersect) करता है तो वो दूसरी दोनों sides same (या equal) ratio में divide (बट) जाएंगी। ”
Proof of Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)
Given : मान लीजिये एक triangle ΔABC है जिसमें एक line, जो side BC के parallel है, दूसरी दो sides AB और AC को क्रमशः (respectively) points D और E पर intersect (काट) कर रहा है। आप इसका diagram नीचे देख सकते हैं।
To Prove :
Construction: BE और CD को join कर दिया (मिला दिया) और फिर DM⊥AC और EN⊥AB पर draw (खींच) दिया।
Proof : Now, area of ΔADE = (1/2) × base × height
ar(ΔADE) = (1/2) × AD × EN
इसी तरह से, area of ΔBDE = (1/2) × base × height
ar(ΔBDE) = (1/2) × DB × EN
Again, area of ΔADE = (1/2) × base × height
ar(ΔADE) = (1/2) × AE × DM
and area of ΔDEC = (1/2) × base × height
ar(ΔDEC) = (1/2) × EC × DM
Therefore,
अब ΔBDE और ΔDEC, ये दोंनो एक ही base DE पर हैं और ये दोनों triangles same parallel lines BC और DE के बीच में हैं।
So, ar(ΔBDE) = ar(ΔDEC) ----(3)
Therefore, from (1), (2) and (3),
यही Basic Proportionality Theorem(Thales Theorem) है। Short (संक्षेप) में Basic Proportionality Theorem को BPT भी कहते हैं।
Also read:
चलिए अब जानते हैं BPT के converse theorem के बारे में।
Converse of Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem)
“If a line divides any two sides of a triangle in the same ratio, then the line is parallel to the third side”.
“अगर किसी triangle में कोई line triangle की किसी दो sides को same ratio में divide करे तो वो line triangle की जो third (तीसरी) side बची उसके parallel होगी।”
Proof of Converse of Basic Proportionality Theorem(Thales Theorem)
Given : मान लीजिये एक triangle है ΔABC जिसमें एक line DE triangle की दो sides AB और AC को क्रमशः (respectively) points D और E पर इस तरह intersect कर रही है की,
यहाँ पर हम ये मान लेते हैं कि DE, BC के parallel नहीं है।
To prove : DE, BC के parallel है मतलब DE∥BC.
Construction : एक line DE’ इस तरह से draw किया जिससे की DE’∥BC.
Proof : हमें construction से पता है कि DE’∥BC, so using BPT,
अब क्योंकि,
So,
Adding 1 in both sides,
AC . E’C = AC . EC
E’C = EC
इसका मतलब ये हुआ की E’ और E coincident points हैं या फिर आसान शब्दों में कहें तो E’ और E एक ही points हैं।
तो इसका मतलब, DE’∥BC ⇒ DE∥BC
चलिए अब Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem) से related (सम्बंधित) कुछ solved examples देख लेते हैं जिससे की आपको Basic Proportionality Theorem (Thales Theorem) या short (संक्षेप) में कहें तो BPT अच्छे से समझ में आ जाए।
Ex.1. If a line intersects sides AB and AC of ΔABC at D and E respectively and is parallel to BC, prove that
Solution: DE∥BC (Given)
Adding 1 in both sides,
Ex.2. ABCD is a trapezium with AB∥DC. E and F are points on non-parallel sides AD and BC respectively such that EF is parallel to AB. Show that
Solution: Let us join AC to intersect EF at G.
AB∥DC and EF∥AB (Given)
So, EF∥DC (Lines parallel to the same line are parallel to each other)
Now, in ΔADC,
EG∥DC (As EF∥DC)
Similarly, from ΔCAB,
Therefore, from (1) and (2),
So, EF∥DC (Lines parallel to the same line are parallel to each other)
Now, in ΔADC,
EG∥DC (As EF∥DC)
Similarly, from ΔCAB,
Therefore, from (1) and (2),
Ex.3. In the figure given below,
and ∠PST = ∠PRQ. Prove that
and ∠PST = ∠PRQ. Prove that
PQR is an isosceles triangle.
Solution: It is given that,
So, ST∥QR (Converse of BPT)
Therefore, ∠PST = ∠PQR (Corresponding angles) ---------(1)
Now, ∠PST = ∠PRQ (Given) -----------(2)
So, ∠PRQ = ∠PQR [From (1) and (2)]
Therefore, PQ = PR (Sides opposite the equal angles)
That means, PQR is an isosceles triangle.
So, ST∥QR (Converse of BPT)
Therefore, ∠PST = ∠PQR (Corresponding angles) ---------(1)
Now, ∠PST = ∠PRQ (Given) -----------(2)
So, ∠PRQ = ∠PQR [From (1) and (2)]
Therefore, PQ = PR (Sides opposite the equal angles)
That means, PQR is an isosceles triangle.
I hope की आपको सब कुछ अच्छे से समझ में आ गया होगा। और अगर आपको कोई चीज समझ में नहीं आती हो तो comment के through (माध्यम से) आप हमें बता सकते हैं। अगर आपको ये article अच्छा लगा तो comment के माध्यम से आप हमें support कर सकते हैं।
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Q.2- ABCD is a trapezium in which AB is parallel to DC and its diagonals intersect each other at the point O. Show that,
Q.3- The diagonals of a quadrilateral ABCD intersect each other at the point O such that
Show that ABCD is a trapezium.
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