What is Euclid's Division Lemma (algorithm)?

What is Euclid's Division Lemma (algorithm)?

Posted by Dheeraj Sahni

Wednesday, January 24, 2018

Algebra

Hello friends, कैसे हैं आप लोग? I hope की आप लोग ठीक होगे।

Friends, मेरा नाम है Dheeraj Sahni और आप लोग इस वक़्त है हमारी website www.mathshindi.com पर। आपका बहुत-बहुत स्वागत है हमारी इस वेबसाइट पर। इस वेबसाइट पर आपको Maths से related (संबंधित) complex/hard (कठिन) topics (विषय) को easy way में समझाया जाता है और सिर्फ ये ही नहीं वो complex topics आपको अच्छे से समझ में आ जाए इसके लिए आपको उन topics से related examples/questions भी दिए जाते हैं।

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Friends, आज का topic है : Euclid's Division Lemma (algorithm) क्या है और हम Euclid's Division Lemma (algorithm) का उपयोग करके किन्हीं दो numbers का HCF कैसे find कर सकते हैं और फिर उस HCF का use (इस्तेमाल) करके हम LCM कैसे find कर सकते हैं।

आज मैं आपको Euclid's Division Lemma (algorithm) के बारे में बताने वाला हूँ और साथ ही साथ में आपको ये भी बताऊँगा की Euclid's Division Lemma (algorithm) का use (इस्तेमाल) आप किन्ही दो numbers का HCF निकालने के लिए कैसे कर सकते हो। और फिर उस HCF का use (इस्तेमाल) करके आप दोनों numbers का LCM कैसे निकाल सकते हो।

So friends,

Let's begin....

Euclid's Division Lemma (algorithm)

ये जानने से पहले की Euclid's Division Lemma (algorithm) क्या है, हमें दो चीज़ों का मतलब जानना होगा –
(a) Lemma
(b) Algorithm

Lemma: ‘A lemma is a proven statement used for proving another statement’.
(Lemma एक ऐसा statement होता है जो पहले से ही proved  होता है और उसका use (इस्तेमाल) दूसरे statement को prove करने के लिए होता है).

Algorithm: ‘An algorithm is a series of well defined steps which gives a procedure for solving a type of problem’.
(Algorithm कुछ अच्छे से defined steps का series होता है जिससे हमें किसी तरह के problem को solve करने का तरीका (method)/प्रक्रिया (process) मिलता है मतलब algorithm हमें ये बताता है की किसी problem को solve करने के लिए पहले क्या करना है, फिर क्या करना है, और फिर उसके बाद क्या करना है, और तरह से आगे).

     

तो चलिए अब point पर आते हैं ....

Euclid's Division Lemma: “Given positive integers a and b, there exist unique integers q and r satisfying a = bq + r, 0 ≤ r < b.”

[मान लीजिए दो integers a और b हैं तो दो ऐसे integers p और q भी होंगे जो इस equation को follow करेंगे
a = bq + r, 0 ≤ r < b और p और q जैसा कोई और दूसरे integers नहीं होंगे। p और q unique integers हैं।]

[अगर आप नहीं जानते हैं की integers किसे कहते हैं तो ये जानने के लिए इस blue link पर click कीजिये»»»
What is complex number,real number,irrational number, rational number,integer,whole number,natural number?]

Division Lemma और Euclid's Division Algorithm आपस में इतने अच्छे से interlinked हैं की लोग कभी-कभी इसे सिर्फ division algorithm भी कह देते हैं।

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Euclid's Division Lemma (Algorithm) का use (इस्तेमाल) सिर्फ दो numbers का HCF निकालने के लिए नहीं किया जाता बल्कि इसके बहुत सारे use (अनुप्रयोग) हैं। Euclid's Division Lemma (Algorithm) का एक use (इस्तेमाल/प्रयोग) ये भी है की इसके use (इस्तेमाल) से numbers के बारे में बहुत सारी properties पता की जा सकती हैं।
लेकिन यहाँ पर हम अभी Euclid's Division Lemma (Algorithm) का use (इस्तेमाल) सर्फ दो numbers का HCF निकालने के लिए करेंगे। तो चलिए जानते हैं Euclid's Division Algorithm क्या है।

Euclid's Division Algorithm: किन्ही दो positive integers का HCF नकालने के लिए, मान लीजिए c और d का, जहाँ पर c > d, ये steps follow कीजिए :

Step 1 : c और d पर Euclid's Division Lemma apply (लागू) कीजिए जिससे हमें q और r मिल जाए जो इस relation में fit हो जाए,
c = dq + r, 0 ≤ r < d.

Step 2 : अगर r = 0 हो तो d, c और d का HCF होगा। अगर r ≠ 0 हो तो फिर से d और r पर Euclid's Division Lemma apply (लागू) कीजिए।

Step 3 : इस prodecure (प्रक्रिया) को जारी रखिये जब तक की remainder 0 ना आ जाए। इस stage पर जो divisor (d) आएगा वो ही c और d का HCF होगा।

Example के लिए – हमें integers 4052 और 12576 का HCF निकालना है।
तो इसके लिए इनमें से जो बड़ा number है उसको c और छोटे number को d मान लेंगे, यानी c = 12576 और d = 4052.

Step 1 : c और d पर Euclid's Division Lemma apply (लागू) कीजिए। ऐसा करने के लिए आपको c को d से यानी 12576 को 4052 से divide करना होगा। Divide करके जो answer आएगा वो q होगा और जो remainder आएगा वो r होगा। Divide करने पर q = 3 और r = 420. अब इसे c = dq + r के form (रूप) में लिख दीजिए।
               i.e., 2576 = 4052 × 3 + 420
आप देख सकते हैं की r, 420 है मतलब 0 नहीं है (r = 420 ≠ 0).

Step 2 : अब 4052 को c मान लीजिए और 420 को d मान लीजिए, यानी c = 4052 और d = 420. अब फिर से इन दोनों पर same to same Step 1 की तरह Euclid's Division Lemma apply (लागू) कीजिए। c और d पर Euclid's Division Lemma apply (लागू) करने पर,
                        4052 = 420 × 9 + 272
अभी भी r = 272 ≠ 0.

Step 3 : अब 420 को c मान लीजिए और 272 को d यानी c = 420 और d = 272. इन पर भी ऊपर बताये गए steps की तरह Euclid's Division Lemma apply (लागू) करने पर,
                          420 = 272 × 1 + 148
यहाँ पर भी r = 148 ≠ 0.

अब c = 272 और d = 148 लेकर उसपर Euclid's Division Lemma apply (लागू) करने पर,
                          272 = 148 × 1 + 124
अभी भी r = 124 ≠ 0.

अब c = 148 और d = 124 लेकर उसपर Euclid's Division Lemma apply (लागू) करने पर,
                          148 = 124 × 1 + 24
अभी भी r = 24 ≠ 0.

अब c = 124 और d = 24 लेकर उसपर Euclid's Division Lemma apply (लागू) करने पर,
                          124 = 24 × 5 + 4
इस बार भी r = 4 ≠ 0.

अब c = 24 और d = 4 लेकर उसपर Euclid's Division Lemma apply (लागू) करने पर,
                           24 = 4 × 6 + 0
इस बार r = 0.

तो अब हम अपना procedure (प्रक्रिया) यहीं stop कर देंगे।
और d इसका HCF होगा। मतलब 4052 और 12576 का HCF 4 (= d) है।

[Note : वैसे तो Euclid's Division Algorithm का use (इस्तेमाल) सिर्फ positive integers के लिए किया जाता है लेकिन हम इसका use (इस्तेमाल) सारे integers के लिए कर सकते हैं (0 को छोड़कर)]

HCF का use करके हम LCM कैसे निकाल सकते हैं

अगर हमें दो numbers का HCF दिया हो तो हम उन दोनों numbers का LCM आसानी से निकाल सकते हैं। इसके लिए हमें इस relation की जरूरत पड़ती है HCF(a, b) × LCM(a, b) = a × b, means HCF of a and b multiplied by LCM of a and b equals to product of a and b.

चलिए example के लिए हम ये दो numbers लेते हैं – 4052 और 12576.

हमें इन दोनों numbers का LCM निकालना है। इसके लिए हमें इन दोनों का HCF निकालना होगा। इनका HCF हम ऊपर पहले ही निकाल चुके हैं। इन दोनों numbers का HCF, 4 है, मतलब
HCF(4052, 12576) = 4. अब हम इस formula/relation HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b का use (इस्तेमाल) करके इन दोनों numbers का LCM निकालेंगे।

HCF(a,b) × LCM(a,b) = a × b

HCF(4052,12576) × LCM(4052,12576) = 4052 × 12576

4 × LCM(4052,12576) = 4052 × 12576

LCM(4052,12576) = 12739488

मतलब 4052 और 12576 का LCM 12739488 है।

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I hope की आपको हमारा ये article पसंद आया होगा और मुझे उम्मीद है कि आपको Euclid's Division Lemma (Algorithm) के बारे में काफी जानकारी मिली होगी। मैंने आपको आसान शब्दों में Euclid's Division Lemma (Algorithm) के बारे में समझाने की कोशिश की है।

I hope की आपको सब कुछ अच्छे से समझ में आ गया होगा। और अगर आपको कोई चीज समझ में नहीं आती हो तो comment के through (माध्यम से) आप हमें बता सकते हैं। अगर आपको ये article अच्छा लगा तो comment के माध्यम से आप हमें support कर सकते हैं।

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