Types of Set
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Types of Set? Set के कितने प्रकार (types) होते हैं? या फिर ये कह लीजिये Set कितने तरह के होते हैं? - इस article में हम आज इन सवालों के बारे discussion करेंगे।
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Friends, मैंने अपने previous article में ये बताया था की set किसे कहते हैं। Set से आपका introduction करवायवा था। और उस article में ये भी बताया था की set को ko कितने तरह से represent किया जाता है या लिखा जाता है। अगर आपने मेरा वो article नहीं पढ़ा है तो उस article को पढ़िए क्योकिं ये वाला article आपको जब ही समझ में आएगा जब आपने मेरा वो article पढ़ा हो। उस article को पढ़ने के लिए इस blue link पर click कीजिये >>>
What is Set?
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Friends, चलिए अब आगे बढ़ते हैं...
Let's Begin...
1. Empty set (or) Null set (or) Void set
किसी भी set के जितने भी subset होते हैं अगर उनका set बना लिया जाए तो इस set को उस set का powerset कहेंगे। Example के लिए मान लीजिये एक set A = {1, 2} है। Set A के subsets हैं: ɸ (क्योकिं ɸ सभी sets का subset होता है), {1}, {2} और {1, 2}. अब इन सभी subsets का set बना लेते हैं, मतलब {ɸ , {1}, {2}, {1, 2}}. इस set को set A का power set कहेंगे और इसको P(A) से show करते हैं।
So, P(A) = {ɸ , {1}, {2}, {1, 2}}.
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[Tips: अगर आपको किसी भी set के कितने subsets हैं- ये पता करना हो तो आप इस formula का use कर सकते हैं: 2m . यहाँ पर m वो number है जितने उस set में elements हैं। Example के लिए just ऊपर वाला example देख लीजिये, मतलब A = {1, 2}. इस set में दो elements हैं। So, m = 2. अब formula का use करने पर, 2m = 22 = 4. So, set A के 4 subsets होंगे। और आप ऊपर के example में देख सकते हैं की set A के 4 ही subsets हैं- ɸ, {1}, {2} और {1, 2}]
13. Universal set
मान लीजिये कुछ sets हैं, A = {a, e, i, o, u}, B = {b, c, d, f, g}, C = {s, t, x, y, m} and
U = {a, b, c, ... , x, y, z}. इन चारों sets को देखने पर ये पता चलता है की A⊂U, B⊂U and C⊂U, मतलब set A के सभी elements set U में आते हैं, set B के सभी elements set U में आते हैं और set C के सभी elements set U में आते हैं। इसमें set U को universal set कहेंगे।
"किसी particular question/problem/situation में जिस set में सभी sets के element आते हो उस set को Universal set कहते हैं और इसको ज्यादातर (mostly) U से show करते हैं।"
चलिए एक और example लेते हैं: N (set of natural numbers), W (set of whole numbers), Z (set of integers), Q (set of rational numbers), T (set of irrational numbers), R (set of real numbers), C (set of complex numbers) - इन सबको तो आप जानते ही होंगे। अब,
N⊂C
W⊂C
Z⊂C
Q⊂C
T⊂C
R⊂C.
So, C यहाँ पर universal set है।
[Points to know: N⊂W⊂Z⊂Q⊂R⊂C and T⊂R⊂C]
अगर आप set of natural numbers, whole numbers, integers, rational numbers, irrational numbers, real numbers and complex numbers के बारे में जानना चाहते हैं तो इस blue link पर click कीजिये>>>
What is complex number, real number, irrational number, rational number, integer, whole number, natural number and number line?
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I hope की मेरा ये article आप को पसंद आया होगा। अगर आप को मेरा ये article पसंद आया हो तो comment करके हमें बता सकते हैं। आपके द्वारा किये गए comment से हमें इस तरह के post/article को लिखने के लिए motivation मिलता है।
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What is Set?
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Friends, चलिए अब आगे बढ़ते हैं...
Let's Begin...
Types of Set
1. Empty set (or) Null set (or) Void set
ये set एक ऐसा set होता है जिसमें कोई भी element नहीं होता है। इस set को ɸ या फिर { } से denote (प्रदर्शित) करते हैं (वैसे ɸ ज्यादा popular है). Example के लिए इस set को देखिये और बताइये इस set में कितने element आएंगे, Y = {x:x ∈ R, 2 > x > 8}. इस set में ऐसे real numbers आएंगे जो 2 से छोटे (less) हैं लेकिन 8 से बड़े (greater) हैं। क्या आप ऐसे real numbers खोज सकते हैं? आप ऐसे real numbers नहीं खोज सकते हैं क्योकिं ऐसा एक भी real number नहीं है जो 2 से छोटा (less) हो और 8 से बड़ा (greater) हो। So, इस set में एक भी element नहीं है और इसलिए ये set ɸ या फिर empty set है (Y = ɸ).
चलिए एक और example लेते हैं। इस set को देखिये-
चलिए एक और example लेते हैं। इस set को देखिये-
S = {x:x is a student of class 5th and class 6th simultaneously in DAB Public School}.
इस set में ये पूछा गया है की DAV Public School में पढ़ने वाले ऐसे students जो class 5th और class 6th दोनों में एक साथ पढ़ते हों। क्या आपको लगता है की किसी school में कोई student एक साथ दो अलग-अलग classes में पढता होगा। ऐसा कही नहीं होता इसलिए ऐसा कोई student नहीं है जो DAV Public School में एक साथ class 5th और class 6th में पढ़ता है। इस वजह से ये set empty set है (S = ɸ).
[अगर आप ∈ and इसी तरह के और set से related signs and symbols के बारे में जानना चाहते हैं तो इस blue link पर click कीजिये >>>
Signs and Symbols in Set]
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2. Singleton set
जिस set में सिर्फ एक element हो उस set को singleton set कहते हैं। Example A = {0}. इस set में एक (one) element है और वो है- 0. So, इस set को singleton set कहेंगे।
3. Non-empty set
जिस set में एक या एक से ज्यादा elements हो, उस set को non-empty कहते है। मतलब जिस set में कम से कम एक element (और ज्यादा से ज्यादा तो कितने भी element हो सकते हैं), non-empty set कहलाता है। For example, B = {1, 2, 3}. इस set में तीन elements हैं- 1, 2 और 3. So, set B एक non-empty set है।
4. Finite set
ऐसे sets जिनके elements को हम गिन सकते है (count कर सकते हैं), finite set कहलाता है। Examples के लिए V = {a, e, i, o, u} को लीजिये। ये set, finite set है क्योकिं इस set में पाँच (five) elements हैं- a, e, i, o और u.
[Note: ɸ (empty set) को finite set माना जाता है।]
5. Infinite set
ऐसे sets जिनके elements को हम गिन नहीं सकते हैं (count नहीं कर सकते हैं), infinite set कहलाते हैं। इस तरह के sets में elements की संख्या बहुत ज्यादा (infinite) होती है और इसी वजह से इनके elements की संख्या को गिना (count) नहीं जा सकता। For example,
E = {2, 4, 6, 8, 10, ... }. क्या आप बता सकते हैं, इस set में कितने elements हैं? क्या आप इस set के elements को गिन (count) कर सकते हैं? आप नहीं गिन (count) कर सकते। इसलिए set E एक infinite set है।
6. Equal sets
दो sets तब equal कहे जाते हैं जब उन दोनों set में exactly same elements हों। अगर ऐसा नहीं होता तो वो दोनों sets, unequal कहे जाते हैं, i.e., दो set A और set B तब equal होंगे जब set A और set B में exactly same elements हो। 'Set A और set B equal हैं' - इस statement (कथन) को ऐसे show करते हैं: A = B.
अगर set A और set B में exactly same elements ना हो तो set A और set B, unequal कहे जाएंगे और इस statement ko इस तरह से show करेंगे: A ≠ B. Example- मान लीजिये A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 1, 4, 2} है। तो set A और set B equal कहे जाएंगे क्योकिं जो elements set A में हैं exactly वही elements set B में हैं और जो element set B में हैं exactly वही elements set A में हैं। So A = B.
7. Disjoint sets
मान लीजिये एक set A और एक set B है और set A का एक भी element set B में नहीं आता और set B का भी एक भी element set A में नहीं आता है। तो set A और set B disjoint sets कहे जाएंगे। In short, if
A∩B = ɸ then A and B are disjoint sets. For example, A = {1, 2, 3} and B = {4, 5} then A∩B = ɸ. So, A and B are disjoint sets.
[ ∩, ये sign है intersection का। Intersection set में एक operation होता है। अगर आप intersection and इसी तरह के और set से related operations जैसे की union, difference, complement, etc. के बारे में जानना चाहते हैं तो इस blue link पर click कीजिये >>>
8. Subset
मान लीजिये दो sets हैं- set A और set B. Set A, set B का subset होगा अगर set A का हर (every) element set B का भी element हो। 'Set A, set B का subset है' - इस statement को इस तरह से लिख कर show करते हैं: A⊆B.
अगर set A, set B का subset नहीं है तो इस statement को इस तरह से लिख कर show करते हैं: A⊈B. Example A = {1, 2, 3} and B = {1, 2, 3, 4}. यहाँ पर हम देख सकते हैं की set A का हर (every) element set B का भी element है, so A⊆B.
यहाँ पर हम ये भी देख सकते हैं की set B का हर (element), set A का element नहीं है, so B⊈A.
[Note: 1. हर (every) set खुद (self) का subset होता है।
2. ɸ, हर (every) set का subset होता है।]
9. Proper subset
मान लीजिये दो set हैं, set A और set B. और A⊆B and A ≠ B, तो set A को set B का proper subset कहते हैं। Example के लिए just ऊपर वाला ही example देख लीजिये। उस example में A = {1, 2, 3} और B = {1, 2, 3, 4}. इसमें set A, set B का subset है और वो भी proper subset. कहने का मतलब ये है की set A, set B का proper subset है। Proper subset का symbol hai: ⊂. So, A⊂B. अगर set A, set B का proper subset नहीं है तो इसको mathematically ऐसे show करते हैं: A⊄B.
[Note: 'Subset' और 'Proper subset' ये दोनों एक ही समझे जाते हैं। और subset and proper subset के लिए एक ही word - 'subset' का use भी किया जाता है। बहुत सी books, especially NCERT की books में ⊆ और ⊂ के लिए एक ही symbol- ⊂ का use किया जाता है। लेकिन दोनों में बस थोड़ा-सा difference (अंतर) है। जब हम A⊆B लिखते हैं तो इसका मतलब होता है की set A के सभी elements set B में आते हैं और set A, set B के equal भी हो सकता है। और जब हम A⊂B लिखते हैं तो इसका मतलब होता है की set A के सभी elements, set B में आते हैं और set A, set B के definitely (निश्चित रूप से) equal नहीं है।]
10. Superset
अगर set A, set B का subset हो तो set B, set A का superset कहलाता है। For example,
A = {1, 2, 3} and B = {1, 2, 3, 4}. यहाँ पर हम देख सकते हैं की A⊆B. So set B, set A का superset कहलायेगा और इसको mathematically ऐसे show करते हैं: A⊇B. अगर Set B, set A का superset नहीं है तो उसको mathematically ऐसे show करेंगे: A⊉B.
11. Proper superset
अगर set B, set A का superset है और B ≠ A तो set B, set A का proper superset कहलाता है और इसको mathematically ऐसे show करते हैं: A⊃B. अगर Set B, set A का superset नहीं है तो उसको mathematically ऐसे show करेंगे: A⊅B. Example के लिए just ऊपर वाला ही example देख लीजिये। उस example में A = {1, 2, 3} और B = {1, 2, 3, 4}. इसमें A⊇B और B ≠ A, so A⊃B.
[Note: 'Superset ' और 'Proper superset ' ये दोनों एक ही समझे जाते हैं। और superset and proper superset के लिए एक ही word - 'superset' का use भी किया जाता है। बहुत सी books, especially NCERT की books में ⊇ और ⊃ के लिए एक ही symbol- ⊃ का use किया जाता है। लेकिन दोनों में बस थोड़ा-सा difference (अंतर) है। जब हम A⊇B लिखे हैं तो इसका मतलब होता है की set B, set A का superset है और set B, set A के equal नहीं हो सकता है। और जब हम A⊃B लिखते हैं तो इसका मतलब होता है की set B, set A का superset है और set B, set A के definitely (निश्चित रूप से) equal नहीं है।]
12. Power set [अगर आप ∈ and इसी तरह के और set से related signs and symbols के बारे में जानना चाहते हैं तो इस blue link पर click कीजिये >>>
Signs and Symbols in Set]
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जिस set में सिर्फ एक element हो उस set को singleton set कहते हैं। Example A = {0}. इस set में एक (one) element है और वो है- 0. So, इस set को singleton set कहेंगे।
3. Non-empty set
जिस set में एक या एक से ज्यादा elements हो, उस set को non-empty कहते है। मतलब जिस set में कम से कम एक element (और ज्यादा से ज्यादा तो कितने भी element हो सकते हैं), non-empty set कहलाता है। For example, B = {1, 2, 3}. इस set में तीन elements हैं- 1, 2 और 3. So, set B एक non-empty set है।
4. Finite set
ऐसे sets जिनके elements को हम गिन सकते है (count कर सकते हैं), finite set कहलाता है। Examples के लिए V = {a, e, i, o, u} को लीजिये। ये set, finite set है क्योकिं इस set में पाँच (five) elements हैं- a, e, i, o और u.
[Note: ɸ (empty set) को finite set माना जाता है।]
5. Infinite set
ऐसे sets जिनके elements को हम गिन नहीं सकते हैं (count नहीं कर सकते हैं), infinite set कहलाते हैं। इस तरह के sets में elements की संख्या बहुत ज्यादा (infinite) होती है और इसी वजह से इनके elements की संख्या को गिना (count) नहीं जा सकता। For example,
E = {2, 4, 6, 8, 10, ... }. क्या आप बता सकते हैं, इस set में कितने elements हैं? क्या आप इस set के elements को गिन (count) कर सकते हैं? आप नहीं गिन (count) कर सकते। इसलिए set E एक infinite set है।
6. Equal sets
दो sets तब equal कहे जाते हैं जब उन दोनों set में exactly same elements हों। अगर ऐसा नहीं होता तो वो दोनों sets, unequal कहे जाते हैं, i.e., दो set A और set B तब equal होंगे जब set A और set B में exactly same elements हो। 'Set A और set B equal हैं' - इस statement (कथन) को ऐसे show करते हैं: A = B.
अगर set A और set B में exactly same elements ना हो तो set A और set B, unequal कहे जाएंगे और इस statement ko इस तरह से show करेंगे: A ≠ B. Example- मान लीजिये A = {1, 2, 3, 4} और B = {3, 1, 4, 2} है। तो set A और set B equal कहे जाएंगे क्योकिं जो elements set A में हैं exactly वही elements set B में हैं और जो element set B में हैं exactly वही elements set A में हैं। So A = B.
7. Disjoint sets
मान लीजिये एक set A और एक set B है और set A का एक भी element set B में नहीं आता और set B का भी एक भी element set A में नहीं आता है। तो set A और set B disjoint sets कहे जाएंगे। In short, if
A∩B = ɸ then A and B are disjoint sets. For example, A = {1, 2, 3} and B = {4, 5} then A∩B = ɸ. So, A and B are disjoint sets.
[ ∩, ये sign है intersection का। Intersection set में एक operation होता है। अगर आप intersection and इसी तरह के और set से related operations जैसे की union, difference, complement, etc. के बारे में जानना चाहते हैं तो इस blue link पर click कीजिये >>>
8. Subset
मान लीजिये दो sets हैं- set A और set B. Set A, set B का subset होगा अगर set A का हर (every) element set B का भी element हो। 'Set A, set B का subset है' - इस statement को इस तरह से लिख कर show करते हैं: A⊆B.
अगर set A, set B का subset नहीं है तो इस statement को इस तरह से लिख कर show करते हैं: A⊈B. Example A = {1, 2, 3} and B = {1, 2, 3, 4}. यहाँ पर हम देख सकते हैं की set A का हर (every) element set B का भी element है, so A⊆B.
यहाँ पर हम ये भी देख सकते हैं की set B का हर (element), set A का element नहीं है, so B⊈A.
[Note: 1. हर (every) set खुद (self) का subset होता है।
2. ɸ, हर (every) set का subset होता है।]
9. Proper subset
मान लीजिये दो set हैं, set A और set B. और A⊆B and A ≠ B, तो set A को set B का proper subset कहते हैं। Example के लिए just ऊपर वाला ही example देख लीजिये। उस example में A = {1, 2, 3} और B = {1, 2, 3, 4}. इसमें set A, set B का subset है और वो भी proper subset. कहने का मतलब ये है की set A, set B का proper subset है। Proper subset का symbol hai: ⊂. So, A⊂B. अगर set A, set B का proper subset नहीं है तो इसको mathematically ऐसे show करते हैं: A⊄B.
[Note: 'Subset' और 'Proper subset' ये दोनों एक ही समझे जाते हैं। और subset and proper subset के लिए एक ही word - 'subset' का use भी किया जाता है। बहुत सी books, especially NCERT की books में ⊆ और ⊂ के लिए एक ही symbol- ⊂ का use किया जाता है। लेकिन दोनों में बस थोड़ा-सा difference (अंतर) है। जब हम A⊆B लिखते हैं तो इसका मतलब होता है की set A के सभी elements set B में आते हैं और set A, set B के equal भी हो सकता है। और जब हम A⊂B लिखते हैं तो इसका मतलब होता है की set A के सभी elements, set B में आते हैं और set A, set B के definitely (निश्चित रूप से) equal नहीं है।]
10. Superset
अगर set A, set B का subset हो तो set B, set A का superset कहलाता है। For example,
A = {1, 2, 3} and B = {1, 2, 3, 4}. यहाँ पर हम देख सकते हैं की A⊆B. So set B, set A का superset कहलायेगा और इसको mathematically ऐसे show करते हैं: A⊇B. अगर Set B, set A का superset नहीं है तो उसको mathematically ऐसे show करेंगे: A⊉B.
11. Proper superset
अगर set B, set A का superset है और B ≠ A तो set B, set A का proper superset कहलाता है और इसको mathematically ऐसे show करते हैं: A⊃B. अगर Set B, set A का superset नहीं है तो उसको mathematically ऐसे show करेंगे: A⊅B. Example के लिए just ऊपर वाला ही example देख लीजिये। उस example में A = {1, 2, 3} और B = {1, 2, 3, 4}. इसमें A⊇B और B ≠ A, so A⊃B.
[Note: 'Superset ' और 'Proper superset ' ये दोनों एक ही समझे जाते हैं। और superset and proper superset के लिए एक ही word - 'superset' का use भी किया जाता है। बहुत सी books, especially NCERT की books में ⊇ और ⊃ के लिए एक ही symbol- ⊃ का use किया जाता है। लेकिन दोनों में बस थोड़ा-सा difference (अंतर) है। जब हम A⊇B लिखे हैं तो इसका मतलब होता है की set B, set A का superset है और set B, set A के equal नहीं हो सकता है। और जब हम A⊃B लिखते हैं तो इसका मतलब होता है की set B, set A का superset है और set B, set A के definitely (निश्चित रूप से) equal नहीं है।]
किसी भी set के जितने भी subset होते हैं अगर उनका set बना लिया जाए तो इस set को उस set का powerset कहेंगे। Example के लिए मान लीजिये एक set A = {1, 2} है। Set A के subsets हैं: ɸ (क्योकिं ɸ सभी sets का subset होता है), {1}, {2} और {1, 2}. अब इन सभी subsets का set बना लेते हैं, मतलब {ɸ , {1}, {2}, {1, 2}}. इस set को set A का power set कहेंगे और इसको P(A) से show करते हैं।
So, P(A) = {ɸ , {1}, {2}, {1, 2}}.
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[Tips: अगर आपको किसी भी set के कितने subsets हैं- ये पता करना हो तो आप इस formula का use कर सकते हैं: 2m . यहाँ पर m वो number है जितने उस set में elements हैं। Example के लिए just ऊपर वाला example देख लीजिये, मतलब A = {1, 2}. इस set में दो elements हैं। So, m = 2. अब formula का use करने पर, 2m = 22 = 4. So, set A के 4 subsets होंगे। और आप ऊपर के example में देख सकते हैं की set A के 4 ही subsets हैं- ɸ, {1}, {2} और {1, 2}]
13. Universal set
मान लीजिये कुछ sets हैं, A = {a, e, i, o, u}, B = {b, c, d, f, g}, C = {s, t, x, y, m} and
U = {a, b, c, ... , x, y, z}. इन चारों sets को देखने पर ये पता चलता है की A⊂U, B⊂U and C⊂U, मतलब set A के सभी elements set U में आते हैं, set B के सभी elements set U में आते हैं और set C के सभी elements set U में आते हैं। इसमें set U को universal set कहेंगे।
"किसी particular question/problem/situation में जिस set में सभी sets के element आते हो उस set को Universal set कहते हैं और इसको ज्यादातर (mostly) U से show करते हैं।"
चलिए एक और example लेते हैं: N (set of natural numbers), W (set of whole numbers), Z (set of integers), Q (set of rational numbers), T (set of irrational numbers), R (set of real numbers), C (set of complex numbers) - इन सबको तो आप जानते ही होंगे। अब,
N⊂C
W⊂C
Z⊂C
Q⊂C
T⊂C
R⊂C.
So, C यहाँ पर universal set है।
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THANKS FOR READING THIS BLOG.
2 Comments
Simple and short trika h akdam samjhne ke liye, Mujhe bhut pasand aaye aur me chta hu ki mujhe set ke bare me ache se samjhye
हमारा article पढ़ने के लिए शुक्रिया। हमें खुशी है कि आपको हमारा article पसंद आया। Set के बारे में और जानने के लिए आप हमारे set से related दूसरे articles पढ़ सकते हैं।