TamilRockers New Link 2019-2020 (Download Free Latest Movies)

TamilRockers New Link 2019-2020 (Download Free Latest Movies)

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TamilRockers New Link 2019-2020: क्या इंटरनेट (internet) पर TamilRockers के सभी पुराने links/URLs अब काम नहीं कर रहे हैं? क्या आपको भी तलाश है latest TamilRockers URL की? अगर हाँ! तो आप इस वक़्त एकदम सही जगह पर हैं। 

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Don't worry friends, इस post में हम आपको TamilRockers की नयी links बताने वाले हैं जो की currently Tamilrockers HD movies free download के लिए काम कर रहे हैं। 
Yes, my dear friends आज आपको TamilRockers Current Website link की जानकारी प्राप्त होने वाली है। पूरी जानकारी प्राप्त करने के लिए इस post को पूरा पढ़िए।  

Table of Content 

• 1 TamilRockers New Link September 2019-2020: Latest Website URL to Download all Movies Free
  • 1.1 TamilRockers Telegram Channel Link
  • 1.2 TamilRockes के बारे में कुछ Facts 
  • 1.3 TamilRockers Income कितनी है?
  • 1.4 TamilRockers Unblock Link 2019
  • 1.5 TamilRockers lsaimini क्या है?
  • 1.6 TamilRockers Alternatives
  • 1.7 क्या TamilRockers से movies download करना खतरनाक है?
  • 1.5 Disclaimer

TamilRockers New Link September 2019 – Latest Website URL to Download all Movies Free

ये बात आप जानते ही होंगे की TamilRockers भी बाकी सभी Pirated Movies Sites के तरह ही अपने Domain Name को बार-बार change करता रहता है। That's why आपको इंटनेट पर बहुत सारे ऐसे websites मिल जाएंगे जो आपको  Tamilrockers new link Tamil movie download पर automatically redirect करते हैं। 

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Tamil Rockers website केवल भारत का ही नहीं बल्कि पूरी दुनिया का एकमात्र ऐसा Pirated Movie Website है जो की सबसे तेज नयी released movies को अपने portal में upload करता है। 

इस website पर आपको प्राय सभी भाषाओं के Movies Download करने के लिए मिल जायेंगे जैसे की Tamil, Malayalam, Telugu, English, Hindi, etc.

tamilrockers.com	tamilrockers co
tamilrockers.cl	tamilrockers.cv
tamilrockers.yt	tamilrockers.ul
tamilrockers.hn	tamilrockers.hd
tamilrockers.in	tamilrockers.by
tamilrockers.do	tamilrockers.to
tamilrockers.ph	tamilrockers.gs
tamilrockers.gd	tamilrockers.net
tamilrockers.bz	tamilrockers.vc
tamilrockers.ch	tamilrockers.gy
tamilrockers.li	tamilrockers.sh
tamilrockers.tv	tamilrockers.mu

इस website की सबसे बढ़िया बात ये है की यहाँ पर सभी movies download करने के लिए free में मिलती है. इतना ही नहीं ये बाकि pirated websites जैसे की Tamilyogi Pro, Filmywap, Worldfree4u, MovieRulz, Tamilgun, 9xMovies इत्यादि में सबसे ज्यादा popular है। 

TamilRockers Telegram Channel Link

तो चलिए जानते हैं की Tamilrockers की नयी link क्या है?

इसका जवाब है new TamilRockers Link है http://tamilrockerrs.ch इसे हाल ही में ही update किया गया है September 2019.

Join TamilRockers Telegram Channel

आपको इनकी जितनी भी नयी पुराणी domain variant मिलेंगी ये सभी automatically redirect होती है इस नए latest address http://tamilrockerrs.ch पर. जिसकी #tag है #tamilrockersnewlink.

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TamilRockes के बारे में कुछ Facts 

ये website मुख्य रूप से Tamil और दुसरे languages (Malayalam, Telugu, English, Hindi) में daily basis पर movies अपलोड करती है। 

वहीँ इतना ही नहीं इसमें आपको movies के साथ साथ बहुत से free resources जिसमें free Malayalam, Telugu, Tamil HD movies links, Bollywood Movies, Hollywood Dubbed Movies, PC movies, software, इत्यादि free में मिलती है.

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Tamilrockers website ऐसे बहुत से amazing features भी प्रदान करती है जैसे की forum, proxy और member area अपने accounts को manage करने के लिए। 

TamilRockers Income कितनी है?

ऐसे बहुत से unpopular ad networks हैं जैसे की Propeller Ads Media, popAds, popMyAds, Dynamic Oxygen, Exit Junction, Blacklabelads, BuzzBizz  जो की इन pirated और adult content sites के लिए एक वरदान का काम करते हैं. यही तो हाँ जिनसे से इतना अच्छा कमा लेते हैं. जो की उनको बाद में और ज्यादा piracy करने के लिए motivate करती है.

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• Average Visitors for Tamilrockers Site: 3 – 4 Lakhs Per day.
• Propeller Ads: 20 – 80 Lakhs per month Approx. (20,00,000₹ Approx per Month).
• Daily Revenue: 930$ – 3,000$, Means (60,000 – 2,00,000₹ Approx per day)

आप ये easily अंदाजा लगा सकते हैं की TamilRockers की daily की earning कितनी होती होगी। 

TamilRockers Unblock Link 2019

जब आप http://www.tamilrockers.com वेबसाइट या कोई दूसरे Pirated Website पर visit करोगे तो इस प्रकार का message दिखाई देगा। 

तब शायद आपको ये message जरुर दिखा होगा, जिसमें लिखा होता है, “YOU ARE NOT AUTHORIZED TO ACCESS THIS WEB PAGE AS PER THE DOT COMPLIANCE“?

ये message केवल उन websites में दिखाई पड़ता है जो की कुछ गलत content deliver करते हैं जिसे की Google Approve नहीं करता है। 

यहां हम आपको Best list of TamilRockers proxy sites के बारे में बता रहे हैं...

URL List	URL Speed
tamilrockers.at	Fast Yes
tamilrockers.nz	Very Fast
tamilrockers.tv	Fast Yes
tamilrockers.mrunlock.pro	Very Fast Yes
tamilrockers.li	Slow Offline
tamilrockers.gy	Fast Yes
tamilrockers.cr	Very Fast Yes
tamilrockerss.ch	Fast Yes
tamilrockers.nocensor.icu	Slow Yes
tamilrockers.link	Slow Offline
tamilrockers.gr	Fast Yes
tamilrockers.prox4you.xyz	Very Fast Yes
tamilrockers.net	Slow Offline
tamilrockers.unlockproject.live	Fast Yes
tamilrockers.123unblock.info	Fast Yes

TamilRockers Isaimini क्या है?

अगर आप ऐसे इंसान हैं जो काफी समय से movies download करता है, उनसे पूछेंगे तो वो आपको बताएगा की कोई भी latest movie रिलीज़ होने के बाद उसके pirated version को सबसे पहले इसी website पर upload किया जाता है. हाल ही में इन्होने “The Lion King” “Judgemental Hai Kya” “Super 30” “Batla House” “Misiion Mangal” जैसे फिल्मों को leak किया है. बहुत बार देखा गया है की movie theater में रिलीज़ होने से पहले ही इस website में available हो जाता है.

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आप Isaimini में different तरह के movies को categories के हिसाब से find कर सकते हो. इसमें आपको Bollywood, Hollywood, Tamil, Telugu, South Indian, Malayalam Dubbed Movies मिल जायेंगे. यहाँ पर movies को आप सिर्फ HD format में ही नही बल्कि HQ, MP4, 3gp में भी मिल जायेगा. जिसका size 300Mb Movies to 700MB Movies तक हो सकता है.

ये website filmmakers के लिए एक बहुत बड़ा headache बन गया है. और साथ ही Government भी इससे बहुत trouble में है। Film Makers को इससे बहुत ज्यादा नुकसान उठाना पड़ता है और इससे उनकी कमाई का बहुत बड़ा हिस्सा कम हो जाता है। India में pirated website से movie download करना illegal है। अगर कोई इस तरह से site से movie डाउनलोड करते पकड़ा गया तो punishment मिल सकता है। 

TamilRockers Alternatives

कुछ लोग सोच रहे होंगे की सिर्फ ये वेबसाइट ही मूवीज को leak करने का काम करता है. लेकिन दिन-प्रतिदिन pirated websites की संख्या increase होते जा रहे है। ऊपर दिए रिपोर्ट को देख कर आप समझ सकते हो की pirated website कितना कमाता है। इसमें अच्छी कमाई होने के कारण लोग इसके तरफ आ रहे हैं। 

इसके अलावा आप Isaimini, Moviesda, Madrasrockers, 9x rockers, Jio rockers, Khatrimaza, Filmywap, Moviezwap, Movierulz, Tamilyogi, Tamilgun, Kuttyweb movies, Cinemavilla, DVD Rockers, A to z movies, Filmyzilla, Filmypur, Bollywood Movies, rdxhd, Mastihot, Ipagal, 9xmovies, 9xrockers, Downloadhub, 8XMovies, worldfree4u, Moviesda, Moviesraja, Movieswood से भी latest movies को free में download कर सकते हो.

क्या TamilRockers से Movies download करना खतरनाक है?

इसका answer है “yes”.
आप सभी को पता होगा की pirated website में Adsense का ads इस्तेमाल नही कर सकते हैं। So, ये लोग ज्यादा पैसे कमाने के लिए 3rd party ad network का इस्तेमाल करते हैं। ऐसे websites में mostly popup ads होते हैं।

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अगर आपको popup ads के बारे में पता नही है तो मैं आपको बता देता हूँ की इस तरह के ads में javascript का बहुत ज्यादा मात्रा में use किया जाता है और इस पर हमारा control नहीं होता है। हम site के किसी भी part पर click करेंगे वो ads पर ही click होगा। 

Popup ads पर click होते ही आप किसी unknown site पर redirect हो सकते हो। इस तरह के ads पर click करते ही आपके system में अपने आप malware download & install हो जायेगा। इससे security issue हो सकता है। So, सिर्फ इस से ही नहीं बल्कि सभी pirated website से आपको बच कर रहना चाहिए। 

उम्मीद है की आपको TamilRockers New Link 2019 -2020  के बारे में important जानकारी प्राप्त हुई होगी। अगर हाँ! तब हमारे blog को जरुर से bookmark कर लें और इसको ज्यादा से ज्यादा share करें। 

DISCLAIMER

भारतीय कानून के तहत किसी Original Content की Piracy करना एक दण्डनीय अपराध है. mathshindi.com इस प्रकार की piracy का पूर्ण विरोध करता है. यहाँ पर दर्शायी गयी content केवल आपको गैर-कानूनी गतिविधियों के विषय में जरुरी जानकारी प्रदान करने के लिए हैं.

इसका उद्देश्य कभी भी और किसी भी प्रकार से piracy और अनैतिक कार्यों को प्रोत्साहना प्रदान करने के लिए बिलकुल भी नहीं हैं. कृपया ऐसी websites से दूर रहें और फिल्म डाउनलोड करने का सही रास्ता चुनें.

Author. Sarkari-Form.com Pada Friday, September 06, 2019

Practical Problems Related to Sets

Practical Problems Related to Sets

Set Theory

Hello friends, इस article में आज हम सीखेंगे की Sets से related Practical problems को कैसे solve करते हैं!

ये सीखने से पहले की - Sets से related Practical problems को कैसे solve करते हैं; हम कुछ formulae देख लेते हैं जिनका इस्तेमाल हम Sets से related Practical problems को solve करने के लिए करेंगे...

Important Formulae for Solving Practical Problems Related to Sets

Let A, B and C are finite sets, 

(i) n(A') = n(U) - n(A)

(ii) n(A⋃B') = n(A) - n(A⋂B)

(iii) n(A⋃B) = n(A) + n(B) - n(A⋂B)

(iv) n(A⋂B) = n(A) + n(B) - n(A⋃B)

(v) n(A⋃B⋃C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A⋂B) - n(B⋂C) - n(A⋂C) + n(A⋂B⋂C)

(vi) n(A⋂B⋂C) = n(A⋃B⋃C) - n(A) - n(B) - n(C)  + n(A⋂B) + n(B⋂C) + n(A⋂C)

तो ये थे कुछ Sets से related formulae जिनका इस्तेमाल हम Sets से related problem को solve करने की लिए करेंगे।

चलिए अब Sets से related कुछ problems देख लेते है।

Practical Problems Related to Sets

Ex.1. If X and Y are two sets such that X⋃Y has 50 elements, X has 28 elements and Y has 32 elements, how many elements does X⋂Y have?

Solution: n(X⋃Y) = 50
                n(X) = 28
                n(Y) = 32
                Using formula,
                n(X⋂Y) = n(X) + n(Y) - n(X⋃Y)
                               = 28 + 32 - 50
                               = 60 - 50
                               = 10

Ex.2. In a group of 400 people, 250 can speak Hindi and 200 can speak English. How many people can speak both Hindi and English?

Solution: Let H be the group of 250 people who can speak Hindi and E be the group of 200 people who can speak English. So, H⋃E will be the group of all the 400 people. ( Here H⋃E is working as universal set).

So, n(U) = 400
      n(H) = 250
      n(E) = 200
      Using formula,
      n(H⋂E) = n(H) + n(E) - n(H⋃E)
                    = 250 + 200 - 400
                    = 450 - 400
                    = 50

Ex.3. In a team of Basketball of a school there are 21 boys, in Hockey team there are 26 boys and in Football team there are 29 boys. Now if 14 boys play Hockey and basketball, 15 boys play Hockey and Football, 12 boys play Football and Basketball and 8 boys play all the three games- Hockey, Football and Basketball. Find the total number of boys that are playing all the three games- Hockey, Football and Basketball.

Solution: Let B, H and F be the set of boys that are playing Basketball, Hockey and Football respectively.

So, n(B) = 21
      n(H) = 26
      n(F) = 29
      n(H⋂B) = 14
      n(H⋂F) = 15
      n(F⋂B) = 12
      n(B⋂H⋂F) = 8
      Using formula, 
      n(B⋃H⋃F) = n(B) + n(H) + n(F) - n(B⋂H) - n(H⋂F) - n(F⋂B) + n(B⋂H⋂F)
                          = 21 + 26 + 29 - 14 - 15 - 12 + 8
                          = 84 - 41
                          = 43
So, the total number of boys that are playing all the three games- Hockey, Football and Basketball is 43.

Ex.4. In a group of 20 peoples, there are 8 peoples who take tea but not takes coffee and there are 13 peoples who take tea. How many peoples are there who take coffee but not take tea?

Solution: Let C be the set of peoples who take coffee and T be the set of peoples who take tea. So, C⋃T will be the set of all 20 peoples. (Here C⋃T is working as universal set).

So, n(C⋃T) = 20
            n(T) = 13
      n(T - C) = 8
So, n(C) = n(C⋃T) - n(T - C)
                    = 20 - 8
                    = 12
and, n(C⋂T) = n(T) - n(T - C)
                      = 13 - 8
                      = 5
So, n(C - T) = n(C) - n(C⋂T)
                    = 12 - 5
                    = 7
So, the number of peoples who take coffee but not take tea are 7.

Ex.5. In a group of 1000 peoples, 750 peoples talk in Hindi language and 400 peoples talk in Bengali language. How many peoples talk only in Hindi and how many peoples talk only in Bengali? Also tell the number of peoples who talk in both languages- Hindi and Bengali?

Solution: Let H be the set of peoples who talk in Hindi and B be the set of peoples who talk in Bengali. So, H⋃B will be the set of all 1000 peoples. (Here H⋃B is working as universal set).

So, n(H⋃B) = 1000
            n(H) = 750
            n(B) = 400
So, n(H - B) = n(H⋃B) - n(B)
                     = 1000 - 400
                     = 600
So, the number of peoples who talk in Hindi only is 600.

And, n(B - H) = n(H⋃B) - n(H)
                       = 1000 - 750
                       = 250
So, the number of peoples who talk in Bengali only is 250.

So, n(H⋂B) = n(H⋃B) - [n(H - B) + n(B - H)]
                    = 1000 - [600 + 250]
                    = 1000 - 850
                    = 150
So, the number of peoples who talk in both languages- Hindi and Bengali are 150.

Ex.6. In a survey it was found that 21 people liked product E, 26 liked product H and 29 liked product L. If 14 people liked products E and H, 12 people liked products H and L, 14 people liked products E and L and 8 liked all the three products. Find how many liked product L only.

Solution: Let E, H and L be the set of peoples that like product E, H and L respectively.

So, n(E) = 21
      n(H) = 26
      n(L) = 29
      n(E⋂H) = 14
      n(H⋂L) = 12
      n(E⋂L) = 14
      n(E⋂H⋂L) = 8
   
Let's draw the Venn Diagram of the problem,

It is clear from Venn Diagram that the number of people who like product L only is,
= 29 - (6 + 8 + 4)
= 29 - 18
= 11
                                                               

I hope कि हमारा ये article आपको पसंद आया होगा। अगर आपको हमारा ये article पसंद आया हो तो comment करके हमें बता सकते हैं। आपके द्वारा किये गए comment से हमें इस तरह के post/article को लिखने के लिए motivation मिलता है।

Read Also:

• What is Set ? 
• Types of Set 
• Venn Diagrams
• Intersection of Sets
• Union of Sets
• Difference of Sets
• Symmetric Difference of Sets
• What are Intervals ?

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Author. Sarkari-Form.com Pada Friday, March 01, 2019

CBSE - Exams Result - Class 10th (2018 - 2019)

CBSE - Exams Result - Class 10th (2018 - 2019)

CBSE Result

CBSE-Exams Result - Class 10th

Author. Sarkari-Form.com Pada Sunday, December 30, 2018

CBSE-Exams Result - Class 10th (2018 - 2019)

CBSE-Exams Result - Class 10th (2018 - 2019)

CBSE Result

CBSE Exams Result - Class 10th (2018 - 2019) has been declared

Now waiting is over for Class 10th. CBSE has officially announced the Exams Results of Board Exams (2018 - 2019) for Class 10th.

Now you can see your results.

To see results of Class 10th, fill the form given below.

---

अब Class 10th का इंतज़ार ख़तम हुआ। CBSE ने आधिकारिक रूप से (officially) Class 10th के Board Exams (2018 - 2019) के Results की घोषणा कर दी है। 

अब आप अपना Result देख सकतें हैं। 

Class 10th का Result देखने के लिए नीचे दिए गए form को भरिये। 

---

Fill the form given below:

Student Name* :                                                                            

Roll Number* : 

Date of Birth* : 

School Number* : 

Centre Number* :   (Given on your Admit Card)       

Class*  :   Class 10th (Please tick ✔️ in the box)
                           
                                           

---

Disclaimer: Neither NIC nor CBSE is responsible for any inadvertent error that may have crept in the results being published on NET. The results published on net are for Immediate information to the examinees. These cannot be treated as original mark sheets. Original mark sheets have been issued by the Board separately.

Designed, Developed and Hosted by National Informatics Centre

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CBSE has officially announced the Exams Results of Board Exams (2018 - 2019) for Class 10th.

The Central Board of Secondary Education (CBSE) is a national level board of education in India for public and private schools, controlled and managed by Union Government of India. CBSE has asked all schools affiliated to follow only NCERT curriculum.There are approximately 19,316 schools in India and 211 schools in 25 foreign countries affiliated to the CBSE.

सीबीएसई (CBSE) ने आधिकारिक तौर पर कक्षा 10 वीं के लिए बोर्ड परीक्षा (2018 - 2019) के परीक्षा परिणाम घोषित कर दिए हैं।

केंद्रीय माध्यमिक शिक्षा बोर्ड (CBSE) भारत में सार्वजनिक और निजी स्कूलों के लिए एक राष्ट्रीय स्तर का शिक्षा बोर्ड है, जिसे भारत सरकार द्वारा नियंत्रित और प्रबंधित किया जाता है। CBSE ने सभी स्कूलों से कहा है कि वे केवल NCERT पाठ्यक्रम का पालन करें। भारत में लगभग 19,316 स्कूल और 25 विदेशी देशों में 211 स्कूल CBSE से संबद्ध हैं।

Author. Sarkari-Form.com Pada Thursday, December 27, 2018

Angle and its Measurement

Angle and its Measurement

Trigonometry

आपने 'angle' नाम तो सुना ही होगा और आपने, अपने पिछले classes में angle के बारे में detail में study की होगी, for example 60° का angle कैसे draw (खींचते) करते हैं, 45° का angle कैसे draw (खींचते) करते हैं, 90° का angle कैसा होता है etc.

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Friends इस article में आज हम angle के बारे में जो कुछ भी पढ़ा है उसको review करेंगे और angle को measure करने के कौन-कौन से system हैं ये भी इस article में जानेंगे।

तो चलिए start करते हैं आज का topic ...

Let's begin...

Angle and its Measurement

चलिए friends सबसे पहले हम जानते हैं 'angle' किसे कहते हैं।

"Angle is a measure of rotation of a given ray about its initial position. The original ray is called the 'initial side' and the final position of the ray after rotation is called the 'terminal side' of the angle. The point of rotation is called the vertex".

मतलब कोई ray अपनी initial position से जितना rotation करती है उसको 'angle' कहते हैं। जो original ray होती है उसको angle का 'initial side' कहते हैं और जो rotation के बाद ray की final position होती है उसको, उस angle का 'terminal side' कहते हैं। और rotation के point को vertex कहते हैं।

(Positive angle)

(Negative angle)

अगर ray की rotation की direction anti-clockwise है तो वो angle positive माना जाएगा और अगर ray की rotation की direction clock-wise है तो वो angle negative माना जाएगा। जैसा की ऊपर दिए गए diagram में दिया गया है।

चलिए अब आगे बढ़ते हैं।

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Angle को measure करने के दो popular system/units हैं :

1. Degree measure : 'Degree' angle को measure करने की एक unit है। अगर कोई ray अपनी initial side से terminal side तक rotate करे और वो rotation पूरा एक revolution (चक्कर) हो तो उस revolution (चक्कर) के (1/360)th part को '1 degree' angle कहेंगे और '1 degree' angle को ऐसे लिखा जाता है : 1°.

1° को भी 60 equal parts में divide किया गया है जिसमें से हर एक part को '1 minute' का angle कहते हैं और '1 minute' को ऐसे लिखते हैं : 1'.

इसी तरह से 1 minute को भी 60 equal parts में divide किया गया है जिसमें से हर एक part को '1 second' का angle कहते हैं और '1 second' को ऐसे लिखते हैं : 1".

1° = 60' और 1' = 60"

नीचे कुछ degree measure दिए गए हैं :

2. Radian measure : Angle को measure करने की एक दूसरी system/unit भी है जिसको 'radian' कहते हैं।

"Angle subtended at the centre by an arc of length 1 unit (i.e., 1 cm, 1 m etc.) in a unit circle (circle of radius 1 unit) is said to have a measure of 1 radian". 

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मतलब, किसी circle में, जिसकी radius 1 unit (i.e., 1 cm, 1m etc.) हो, कोई 1 unit length का arc उस circle के centre पर जो angle बनाता है (subtend करता है), उस angle को '1 radian' कहते हैं।
'1 radian' को ऐसे भी लिखा जाता है - 1 rad (या) 1^c                                    

नीचे कुछ angles के radian measure दिए गए हैं जिसमें OA initial side हैं और OB terminal side है।

More generally, अगर कोई circle है जिसकी radius 'r' है और उस circle का कोई arc जिसकी length 'l' है और वो arc circle के centre पर 'θ' radian angle subtend करता है तो θ = l/r.

अगर कोई ray एक complete revolution (चक्कर) करती है तो वो जो arc बनाएगी उसकी length उस circle के circumference के equal होगी मतलब l = 2πr होगा। तब

मतलब 1 revolution (चक्कर) में 2π radian होते हैं।

Relation Between Degree and Radian

2π rad = 360°
π rad = 180°
1 rad = 57°16' (approx.)
1° = 0.01746 rad (approx.)

नीचे कुछ common angles के degree measures और उनके radian measures दिए :

 किसी degree measure को, radian measure में change करने के लिए इस formula का use (प्रयोग) करते हैं :

                                     

और किसी radian measure को, degree measure में change करने के लिए ये formula use (प्रयोग) करते हैं :

चलिए अब कुछ solved examples देख लेते हैं :










Read Also:

• What is Set ? 
• Types of Set 
• Venn Diagrams
• Intersection of Sets
• Difference of Sets
• Symmetric Difference of Sets
• What are Intervals ?
• What is Cartesian Product ?
• What is a Function?
• Coordinate (Cartesian) System - Coordinate Geometry 
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• How to Solve Quadratic Equation using Quadratic Formula ?
• What is polynomial and equation ?
• What is Euclid's Division Lemma (algorithm) ?
• What is complex number, real number, irrational number, rational number, integer, whole number, natural number and number line?
• What is odd number, even number, prime number, composite number, co-prime number, factor and multiple ?
• Principle of Mathematical Induction (PMI)
• सरकारी नौकरी खोजने के लिए सबसे अच्छी website कौन-सी है?

I hope की मेरा ये article आप को पसंद आया होगा। अगर आप को मेरा ये article पसंद आया हो तो comment करके हमें बता सकते हैं। आपके द्वारा किये गए comment से हमें इस तरह के post/article को लिखने के लिए motivation मिलता है।


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Author. Sarkari-Form.com Pada Thursday, October 25, 2018

Principle of Mathematical Induction (PMI)

Principle of Mathematical Induction (PMI)

PMI

Maan lijiye ki hum positive integers 1, 2, 3, ... , n ke sum ka formula find karna chahte hai. Matlab hum ek aisa formula find karna chahte hain jo hame 1 + 2 + 3 (jab n = 3 ho) ki value de, jo hame 1 + 2 + 3 + 4 (jab n = 4 ho) ki value de and so on aur maan lijiye hamne kisi tarah se patterns ko observe karke ye conclusion nikaal liya ki wo formula hai:

To ab hum iss formula ko actual mein kaise prove kar sakte hain? Hum ek kaam kar sakte hain; hum n ki jitni chahe utni values (positive integers) lekar iss formula ko verify kar sakte hain, lekin iss se n ki sabhi values (positive integers) ke liye ye formula prove nahi hoga. Hame iss formula ko prove karne ke liye ek chain reaction chahiye. Iss chain reaction ka effect aisa hona chahiye ki agar is formula ko kisi particular positive integer ke liye prove kar diya gaya to wo formula uss positive integer se just next positive integer ke liye automatically prove ho jaayega aur iss tarah se iss positive integer se just next positive integer ke liye bhi ye formula prove ho jaayega aur iss tarah se ye process chalta rahega iss tarah se sabhi positive integers ke liye ye formula prove ho jaayega.

Iss tarah ka ek chain reaction- Mathematical Induction ke method se produce ho sakta hai.

Principle of Mathematical Induction 

Maan lijiye ek natural number 'n' se related koi statement hai jiska naam(name) 'P(n)' hai aur ye statement aisa hai ki:

(i) Ye statement true hai n = 1 ke liye, i.e., P(1) is true aur
(ii) Agar ye statement n = k ke liye true hai (jaha par ke koi positive integer hai), tab ye statement n = k + 1 ke liye bhi true hoga, i.e.,  truth of P(k) implies the truth of P(k + 1).

Then P(n) sabhi natural numbers (positive integers) ke liye true hoga.

Isme jo property (i) hai ye simply statement of fact hai. Kahi kahi par situation aise bhi ho sakte hain jaha par ek statement true ho sakta hai sabhi n ≥ 4 ke liye. Iss case mein step (i) start hoga n = 4 se aur hum n = 4 ke liye statement ko verify karenge, i.e., hum P(4) ko verify karenge naa ki P(1) ko verify karenge.
Aur isme property (ii) ek conditional property hai. Property (ii) hame ye nahi kehta hai ki diya gaya statement n = k ke liye true hai. Property (ii) hame sirf ye batata(बताता) hai ki agar diya gaya statement n = k ke liye true hai to ye statement n = k + 1 ke liye bhi true hoga.

Property/step (ii) ko kabhi-kabhi inductive step bhi kaha jaata hai. Inductive step mein ye jo assumption hai -  'the given statement is true for n = k' isko 'inductive hypothesis' kehte hain.

Chaliye Principle of Mathematical Induction ko sahi se samajhne ke liye ek example lete hain:

Iss pattern ko dekhkar aap kya conclusion nikaal sakte hain?

Iss pattern ko dekhkar ye conclusion nikalta hai ki kisi bhi natural number 'n' ka square, starting se, matlab 1 se, n tak odd natural numbers ke sum ke equal hota hai. Matlab,
1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n²

Ye jo hamne kisi natural number 'n' ke liye conclusion find kiya (jo ki natural number n ke liye ek statement hai), chaliye usko P(n) naam(name) de dete hain.

So, P(n) : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2n - 1) = n²

Ab hum apne conclusion (statement) ko check karna chahte hain ki ye sahi bhi hai ya nahi?

Iske liye hame PMI use karna hoga.

Sabse pehle hum apne conclusion (statement) ko n = 1 ke liye verify karenge.

So, P(1) : LHS = 1
                RHS = 1² = 1
We see that, LHS = RHS
So, P(1) is true.

Ab hum ye maan lenge (assume karenge) ki ye conclusion (statement) n = k ke liye true hai jaha par k koi positive integer hai. Matlab hum ye maan lenge ki P(k) is true for some positive integer 'k'.
So, P(k) : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) = k²

Ab hum iss ka use karke n = k + 1 ke liye apne conclusion (statement) ko verify karenge. Agar P(k) ki truth se P(k + 1) bhi true prove hota hai to ye P(k + 1) ke liye verify ho jaayega aur phir PMI ke rule ke through ye sabhi natural numbers 'n' ke liye prove ho jaayega.
Hame P(k + 1) ke LHS mein P(k) ka LHS hi lena hota hai bass(बस) usme last waale number se ek aur aage(आगे) number lena hota hai.
P(k + 1) waale step mein sirf LHS hota hai aur hume P(k + 1) mein sirf LHS ko solve karna hota hai aur usko solve karke ek aisa expression (ya formula bhi keh sakte hain) aana(आना) chahiye jo P(k) ke LHS ke form mein ho aur usme 'k' ke place par 'k + 1' hona chahiye.

To chaliye ab P(k + 1) ko solve karte hain.

P(k + 1) : 1 + 3 + 5 + 7 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1]
             = k² + (2k + 2 - 1)
             = k² + (2k + 1)
             = k² + 2k + 1
             = (k)² + 2(k)(1) + (1)²
             = (k + 1)²
                
Hum dekh sakte hain ki  ko solve karne par jo expression aaya wo P(k) ke RHS ke form mein hai aur 'k' ke place par 'k + 1' hai. Matlab P(k) ke true hone se P(k + 1) bhi true prove hota hai. So, according to the rule of PMI,
'P(n) is true for all natural numbers'.

Isi tarah se hamne jo starting mein example liya tha, matlab ye:

ko bhi PMI ke through verify kar sakte hain. Chaliye iss ko verify karte hain.

Aap ye dekh sakte hain ki P(k + 1) ko solve karke jo expression (formula) aaya(आया) wo P(k) ke RHS ke form mein hai but 'k'  ke place par 'k + 1' hai.

So, P(k) agar true hai to P(k + 1) bhi true hota hai. So, PMI ke rule ke according,

'P(n) is true for all natural numbers.'

Chaliye ek aur example le lete hain.

"Prove that 2ⁿ > n for all positive integers n".

So, sabse pehle iss statement, jo ki 'n' ke liye kaha gaya hai, ko P(n) naam(name) de dete(देते) hain.

P(n) :  2ⁿ > n

Ab hum iss statement ko n = 1 ke liye verify karenge. Matlab hum ye dekhne ki koshish karenge ki P(1) true hai ya nahi.

P(1) : LHS = 2¹ = 2
          RHS = 1

We see that, LHS > RHS.
So, P(1) is true.

Ab hum ye maanenge(मानेंगे) ki P(k) true hai jaha par 'k' koi positive integer hai.

P(k) :  2^k > k

Ab hum P(k + 1) ko solve karenge.

P(k + 1) : 2^{k + 1} = 2^k. 2 > 2k = k + k > k + 1
            ⇒ 2^{k + 1} > k + 1

[Explanation:- 2^{k + 1} ko hum 2^k. 2 likh sakte hain lekin 2^k. 2 greater hai 2k se! Ye hame kaise pata chala?? Iske liye P(k) ko dekhiye. P(k) mein diya gaya hai 2^k > k. Isme dono(दोनों) taraf (LHS aur RHS mein), 2 se multiply karne par hame milega 2^k. 2 > 2k. (Alright!) Isiliye 2^{k + 1} (yaani 2^k. 2), 2k se greater hua. But 2k ka matlab hai k + k. So, 2^{k + 1}, k + k se greater hua, matlab 2^{k + 1} > k + k. But k + k greater hoga k + 1 se kyuki k, 1 se jyada (greater) koi positive integer hai. Matlab k + k > k + 1. To iska matlab ye hua ki 2^{k + 1}, k + 1 se bhi greater hai. Matlab '2^{k + 1} > k + 1'. (Got it?)] 

Aap dekh sakte hain ki P(k + 1) ko solve karke jo expression aaya(आया) wo P(k) ke RHS ke form mein hai aur 'k' ke place par 'k + 1' hai.Matlab P(k) agar true hai to P(k + 1) bhi true hota hai.
So, according to the rule of PMI,

'P(n) is true for all positive integers (or natural numbers)'.

Chaliye ab kuch aur solved examples dekh lete hain.

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I hope ki mera ye article aap ko pasand aaya hoga. Agar aap ko mera ye article pasand aaya ho to comment karke hame bata sakte hain. Aapke dwaara kiye gaye comment se hame iss tarah ke post/article ko likne ke liye motivation milta hai.


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Author. Sarkari-Form.com Pada Friday, October 19, 2018